Collection soro dénommé le bac n'est pas sorcier

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*Collection soro dénommé le bac n'est pas sorcier*

Résumés de mathématiques série D

Initiateur : Guillaume Togbode

*Module 2 : fonctions f(x) ; lnu et e^u*

*Séquence 1 : comment tracé une fonction ?*

Nombreux de candidats ont de difficultés à tracer une fonction. Or ils ont oublié que tracé une fonction c’est :

1) étudier ses variations ,

2)Déterminer les branches infinies

3)Étudier éventuellement la position relative des asymptotes par rapport à la courbe puis les tracés dans un repère

4)Chercher les points remarquables en supposant :

Soit {A}=(OX) inter (Cf)

A}=(OX) inter (Cf) yA = 0 donc f(xA)= 0

Par conséquent A( xA, 0)

Soit {B}=(OY) inter (Cf)

{B}=(OY) inter (Cf) xB = 0 donc yB=f(0)

Par conséquent B(0; f(0))

NB: soyez sûr 0 € Df avant de calculer f(0).

Détails

Etudier une fonction f, c’est étudier ses variations.

A- Etudier les variations de f c’est :

1-Déterminer le domaine ou ensemble de définition Df de f.

2-Calculer les limites aux bornes de Df ;

3-Etudier l’ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivé soit f'(x) ;

4- Etudier le signe de f'(x) et dégager le sens de variation de f ;

5-Dresser le tableau de variation de f.

B- Etudier le sens de variation de la fonction f c’est :

1- Déterminer son ensemble de définition ;

2-Donner l’ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée f'(x);

3-Etudier le signe de f’(x) et conclure (c’est de dire si la fonction f est croissante ou décroissante ou constante).

Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

 Si f ’ est positive sur I, alors f est croissante sur I.

 Si f ’ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.

 Si f ’ est nulle sur I, alors f est constante sur I.

*Limite et les branches infinies*

Propriété : f est une fonction numérique à variable réel x, (Cf) est la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé et a et b deux nombres réels.

 Si lim(x→a)f(x)=(−∞ ou+∞) alors la droite d’équation x=a est une asymptote à (Cf) au voisinage de a (cette asymptote est parallèles à l’axe des ordonnées).

 Si lim(x→∞)f(x) = b alors la droite d’équation y=b est une asymptote à (Cf) au voisinage de (−∞ ou+∞). Cette asymptote est parallèle à l’axe des abscisses.

 Pour démontrer de façon générale qu’une droite d’équation y = ax+b est asymptote oblique à une courbe, il suffit simplement de montrer que

lim(x→∞)[f(x)-(ax+b)]=0

® Position d’une courbe par rapport à son asymptote Obliques 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃.

Pour étudier la position de (Cf) par rapport à (D): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, on détermine le signe de la différence 𝒅 = [𝒇(𝒙) − (𝒂𝒙 + 𝒃)].

En effet :

 Si d> 0 ⟺ (𝐶𝑓) est au dessus de (D).

 Si d< 0 ⟺ (𝐶𝑓) est en dessous de (D).

 Si d= 0 ⟺ (𝐶𝑓) et (D) sont confondus.

✓ Calcul de limites en cas d'indétermination

*Méthode de lever une indétermination dans un calcul de limite*

Dans de nombreux calculs de limites, l’utilisation des théorèmes généraux (limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient) ne permet pas de conclure directement. On dit alors qu’on est en présence d’une « forme indéterminée ». Dans la plupart des cas, il est possible en modifiant l’écriture de l’expression dont on cherche la limite de se retrouver dans une situation où l’on peut conclure en appliquant les théorèmes connus : on dit alors qu’on a levé l’indétermination.

 Comment peut-on savoir si l’on est dans le cas d’indétermination et comment peut-on élever cette indétermination ?

1) Il est indispensable, avant de chercher à modifier une écriture de s’assurer, en remplaçant le réel dans l’expression de la fonction, que les théorèmes généraux ne permettent pas de conclure directement (il faut effectuer l’opération de la limite sur son brouillon) ;

2) reconnaître que :

a) IRI (Infinie sur Réel = Infinie)

b) ORO( zéro sur Réel = zéro)

c) ROI( Réel sur zéro = Infinie)

d) RIO ( Réel sur Infinie = zéro)

2) savoir qu'il y a 4 indéterminations répartir en 2 groupe à savoir :

1 er groupe :

a) infinie moins infinie (&-&)

b) infinie sur infinie ( &/&)

2eme groupe :

a) zéro fois infinie (0 X &)

b) zéro sur zéro ( 0/0)

3) savoir si quand je suis dans le 1 er groupe d'indétermination que je dois faire :

Extraction, c'est-à-dire faire sortir le paramètre ou la variable le(la) lourd(e) ou

faire l'expression conjugué
ou factoriser et/ou simplifier en cas de besoin.

4) savoir si quand je suis dans le 2eme groupe que je dois faire :

Allusion aux limites remarquables qui sont dans mon cahier.

5) reconnaître qu'il y a 4 limites remarquables de la fonction comportant le logarithme népérien et trois limites remarquables comportant la fonction exponentielle népérienne :

6) être en mesure de détecter la source ou la cause de l'indétermination.

7)Savoir désormais que c'est le contenu de ln( ) ou le contenu de e^( ) qui cause ou la source de l'indétermination.

8,) savoir que c'est la source ou la cause ln( ) ou e^ ( ) qu'il faut transformer.

10) si je suis dans les cas ln(0+) ; ln(+&) ; ln(1 + 0) et ln(1), il faut être en mesure de transformer :

Voir cours......
11) si je suis dans les cas e^(-&); e^(+&) et [e^(0) -1], il faut être en mesure de transformer :

......voir cours

*Suite rendez-vous dans le groupe d'étude WhatsApp en ligne COLLECTION SORO DÉNOMMÉE le BAC N'EST PAS SORCIER*

Guillaume TOGBODE

WhatsApp 95202549

*Révision Générale en 5 Epreuves dans chaque matière* from Collection soro on WhatsApp. COLLECTION SORO

*🇧🇯L'enrôlement de RAVIP est encore relancé dans toutes les Mairies du Bénin depuis le lundi 21 août dernier.*

Tous ceux qui n'ont jamais été enrôlés, c'est le moment d'en profiter. Aujourd'hui les pièces de l'ANIP sont très importantes dans la vie active et indispensable. Sans elles vous ne pourriez pas avoir accès à certains services.

*NB : IL EST FORMELLEMENT INTERDIT D'EFFECTUER DEUX FOIS LE RAVIP (vous pourriez être poursuivis)*

1/ Ne sont pas concernés ceux qui ont déjà effectuer le Ravip avant

2/ Ne sont pas concernés ceux qui veulent corriger une erreur sur leur Ravip et pensent qu'en reprenant ça pourrait être corrigé (ça se bloque et bonjour les dégâts)

3/ Si vous reprenez un autre Ravip or vous en avez déjà un , le second sera invalidé et le premier pourra être verrouillé...

4/Toutes personnes résidant au Bénin et n'ayant pas effectué le Ravip sont concernés

Partagez le lien a vos amis candidats au bac

Cours de vacance Gratuit en maths ABCD et PCT série CD

*Du 02 août au 15 septembre 2023*

Guillaume TOGBODE, promoteur des documents collection soro

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*COLLECTION SORO DÉNOMMÉE LE BAC N'EST PAS SORCIER*

voici le lien

Soro Maths et PCT en ligne WhatsApp Group Invite

Collection soro dénommée le BEPC et le BAC ne sont pas sorciers

*EXCLUSIVITÉ PEACE FM*📍📍📍

Zou premier au BEPC 2023

Coline 2ème

Littoral : 3ème

Plateau : 4ème

Mono : 5éme

Borgou: 6ème

Couffo : 7ème

Attacora : 8ème

Atlantique : 9ème

Ouémè: 10ème

Donga : 11ème

Alibori : 12ème

*POURCENTAGE PAR DÉPARTEMENT*

Zou 79,36%

Collines 78,92%

Littoral 74,88%

Plateau. 71,67%

Mono 71,43%

Borgou 71,34%

Couffo 70,67%

Atacora 68,29%

Atlantique 66,02%

Ouémé 64,71%

Donga 60,51%

Alibori 54,90%

Taux national BEPC 2023 : *69, 21%*

L'année passée, le taux était de 66, 46%.

https://zeno.fm/radio/peace-fm-benin/

_Peace FM 99.3, la Radio 📻 autrement

*Collection soro dénommée le bac n'est pas sorcier*

SA 4• l'indépendance par la négociation

Ghana ancienne appelé Golf coast .
À Ghana, le processus de décolonisation a été marquée par :
* Le montée du nationalisme qui se manifeste par la révolte des planteurs , le rejet de la constitution .

* L'action des partis politiques , les actions non violente de l'UGG , la radicalisation de la lutte par le leader nationaliste kwamé N'kruma avec le CPP.

Cas de Nigeria

La métropole Britannique met en place deux constitutions qui facilitent l'accès du suffrage universel et à l'autonomie. Le 1 er octobre 1960 , proclamation d'indépendance avec comme président Benjamin AZIKWE

Cas du Congo

* 1956 développement des partis politiques MNC

* Émeutes de 1959, annonce de l'organisation d'élections locales

* Mai 1960 , élection donnant la victoire du MNC de Lumupba qui cède la présidence à KASAVUBU
* Proclamation de l'indépendance le 30 juin 1960 .

© - l'indépendance des colonies Françaises d'Afrique
Le cas de Maroc .
* Réclamation de l'indépendance par l'Istiqlal un des mouvements nationalistes marocain .

* 1953 exil du sultan Mohamed ben

* 31 mars 1956 indépendance du Maroc est proclamée .

Cas de Tunisie

En 1945 , De Gaulle propose le statut d'ETA associé à la Tunisie au sein de l'UF . 11 Avril est normé le 1 er ministre 20 mars 1956 proclamation de l'indépendance , 12 novembre 1956 le pays est admis aux nations unies .

Cas des colonies d'Afrique noire francophone
Le processus de la décolonisation s'est effectuée par étape tenue des réformes opérées pour éviter l'exposition .

La conférence de Brazzaville de 1944

L'objectif ou raison de la conférence de Brazzaville stimuler l'efforts de guerre , de préparer l'après guerre . Elle a induit plusieurs réformes .
• Réformes
La suppression du travail forcé et rétablissement de la liberté de travail dans un délai de 05 ans . L'envoi des députés noires représenté les colonies à l'assemblée française de 1946. La création des assemblées territoriales : Africains er Européens .

* La création de l'Union française
Raison : l'intensification des luttes indépendantes à la fin de la seconde guerre mondiale , le non respect des promesses d'émancipation faites aux noires contre leur effort de guerre, le non respect du principe de croïts des peuples à disposer d'eux-mêmes.

@ Réformes de l'UE

* La transformation.de l'empire française en union française (UF )

* L'accord de place aux représentants des colonies à l'assemblée française .

@ la loi cadre de Déffèrre
Elaborée et proposée par Gaston Déffèrre ministre français des colonies , elle a été votée et adoptée le 23 juin 1956 .

Raisons ; l'insuffisance des réformes de l'UF de 1946 qui écarte toute idée d'indépendance , la déception des leaders politiques africains face à la concentration pourvoir entre les mains de l'administration coloniale , la pression des leaders politiques , des étudiants, des syndicats ....

•Réformes de la loi cadre de défère
Établis le suffrage universel et le collège unique d'outre Mer , développe la décentralisation administrative et facilite l'accès des autochtones à la fonction publique , offre la possibilité d'avoir une nationalité française , permet l'élargissement des pouvoirs de l'AS..

@ Création de la communauté France Afrique
Raisons : la pression de l'ONU , des USA et de l'ex URSS , la pression de certains leaders politiques , des étudiants , la division de la classe politique française au sujet de guerre de l'Algérie et question coloniale .

@ Étapes de décolonisation au Bénin
• institutions du système representative : l'assemblée générale , l'émergence de classe politique

• la NAISSANCE d'un pouvoir exécutif : la création de l'état Dahomens , les gouvernements d'autonomie interne , les gouvernements de la communauté .

• l'accession du Dahomens à la souveraineté internationale .

@ le difficultés ou contraintes des indépendances au Dahomey
* Difficultés politiques
L'éclatement des conflits régionaux et ethnocentriques , des tiraillements politiques , l'installation d'un régime militaire - marxiste de 1972- 1990 , Persistance du pacte colonial ......

* Les difficultés économiques

* L'incompatibilité du mode de gestion économique aux réalités du pays
* Endettement croissant du pays vis à vis des pays nord ,
* La mauvaise gestion des ressources naturelles , financière due à l'inconscience des cadres

* La détérioration des termes de l'échange .

• les difficultés sociales

La faiblesse du taux de scolarisation , la misère croissante des populations et la famine . Le manque d'union nationale , l'insécurité , la délinquance ...

Les périodes d'instabilité politique : 1960 à 1972 , période révolutionnaire du régime militaire et marxiste 1972 à 1990. La période du renouveau démocratique 1990 à nos jours .

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Guillaume TOGBODE

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*Partie I: chimie*

*Mobilisation des ressource*

Rendez-vous le 1er juin pour la révision générale dans nos groupes

*Chimie organique*

1. Donne la formule brute, la formule générale, le groupe fonctionnel, la masse molaire molécule en fonction de 𝑛, pour chacun des composés ci-après :
a) Alcool
b) Ether-oxyde
c) Cétone
d) Aldéhyde
e) Acide carboxylique
f) Ester
g) Chlorure d’acyle
h) Amide
i) Amine
j) Anhydride d’acide
k) Acide 𝛼 −amine
l) Dipeptique

2. Ecris l’équation-bilan de la combustion avec les composés ci-après :
a) CxHyOz
b) CxHyOzNt
c) Alcool
d) Aldéhyde
e) Acide carboxylique

3. vrai ou faux : La combustion complete, C’est une oxydation totale ; Elle détruit totalement le
squelette de la molécule ;

4. Vrai ou faux : l’hydratation d’un alcène conduit à la formation d’un seul alcool

5. Vrai ou faux : l’hydratation d’un alcène dissymétrique conduit à la formation de deux alcools

6. Vrai ou faux : l’hydratation d’un alcène dissymétrique conduit à la formation d’un alcool

7. Vrai ou faux : l’hydratation d’un alcène symétrique conduit à la formation de deux alcools

8. Vrai ou faux : Les alcools secondaires se déshydrogènent en aldéhydes

9. Vrai ou faux : Les alcools primaires se déshydrogènent en cétones

10. Vrai ou faux : Les alcools tertiaires ne se déshydrogènent pas.

11. Vrai ou faux : déshydratation intramoléculaire = perte plus ou moins importante de l’eau
présente dans la molécule

12. Vrai ou faux : décarboxylation = transformation chimique aboutit à la perte de dioxyde de carbone

13. Les caractéristiques d’une réaction de saponification sont :
a) Réaction lente, limitée et athermique ;
b) Réaction rapide, totale et exothermique ;
c) Réaction rapide, limitée et athermique ;
d) Réaction lente, totale et exothermique.

14. Les caractéristiques d’une réaction d’estérification indirecte sont :
a) Réaction lente, limitée et athermique ;
b) Réaction rapide, totale et exothermique
c) Réaction rapide, totale et athermique ;
d) Réaction lente, limitée et exothermique.

15. Compléter le texte suivant par les mots appropriés en utilisant uniquement les lettres :

Texte : l’hydratation d’un alcène …..(a)……conduit à un mélange de deux …..(b)….dont le
plus abondant est celui de la …..(c)… la plus élevée. Une molécule chirale est douée
d’activité ….(d)…. Et possède deux …..(e)… de configuration appelés…(f)… , image l’un de
….(g)…….à travers un miroir plan.

16. Compléter le texte suivant par les mots appropriés en utilisant uniquement les lettres :

Texte : L’estérification est la réaction entre un acide carboxylique et un ….(a)….. Elle est
lente, limitée et …(b)... Mais elle devient rapide, totale et ...(c)….lorsqu’on remplace l’acide carboxylique par le chlorure d’acyle ou ….(d)…. La réaction de déshydratation ….(e)….
entre deux acides α-aminés est une réaction de ….(f)….

17. Dans un mélange équimolaire d’acide et d’alcool, la limite de l’estérification encore appelée le pourcentage d’estérification 𝑟 est fonction de la classe d’alcool. Ainsi pour :
a) 𝑟 = 67 % , il s’agit d’un alcool secondaire
b) 𝑟 = 60 % , il s’agit d’un alcool tertiaire
c) 10 % ≤ 𝑟 ≤ 1% , il s’agit d’un alcool primaire

18. Répondre par vrai ou faux puis corriger, au besoin, l’affirmation suivante : « Un carbone
asymétrique est un atome de carbone relié à des atomes ou groupes d’atomes différents ».

19. Montrer que la réaction entre le sodium métal et un mono alcool de formule 𝑅 − 𝑂𝐻 est une réaction d’oxydoréduction.

20. Donne la formule semi développée de l’acide lactique puis propose une méthode
expérimentale qui prouve que la molécule de l’acide lactique est optiquement active.

21. Faire la représentation en perspective des deux énantiomères de l’acide lactique.

22. Au cours d’une réaction entre un alcool B et un acide carboxylique A, on obtient un composé
C contenant 62% de carbone en masse. Donner la formule brute de C

23. L’hydratation d’une masse m = 2,8 g d’un alcène produit une masse m’=3,52 g d’un mono alcool X saturé ayant un groupe méthyle en ramification. Proposer une démarche pour
déterminer la formule brute de l’alcool X.

24. Ecrire les formules générales des trois classes d’amines aliphatiques (amines saturées non
cycliques).

25. Montrer que la formule brute d’une monoamine saturée non cyclique contenant n atomes de carbone est CnH2n+3N (on établira cette formule à partir de la formule générale d’une monoamine secondaire saturée non cyclique).

26. Le pourcentage en masse d’azote d’une monoamine A saturée non cyclique est 23,7 %.
a) Exprimer en fonction de n le pourcentage en masse d’azote contenu dans une telle molécule.
b) Déterminer la formule brute de A
c) Donner les noms, les formules semi-développées et les classes des isomères de cette amine.

27. Donne le nom de la formule semi-développée ci-après : HOOC − CH2 − CH(OH) − COOH

28. Déterminer la fonction chimique et le nom du composé :
CH3 − CH2 − CH(CH3)−NH2
montrer que ce composé contient 19,17 % en masse d’azote.

29. Identifier, justification à l’appui, la formule générale d’un acide 𝛼−aminé.
𝑎) 𝑅−(𝑁𝐻2)−𝐶𝑂𝑂𝐻;

𝑏) 𝑅−(𝑁𝐻3)−𝐶𝑂𝑂𝐻;

𝑐)𝑅−𝐶𝐻2(𝑁𝐻2)−𝐶𝑂𝑂𝐻;

𝑑) 𝑅−(𝐶𝑂𝑂𝐻)−𝑁𝐻2

30. Ecrire et donne en nomenclature officielle, la formule semi-développée des 5 acide 𝛼−aminés

31. Donner en nomenclature la ystématique le nom de la glycine, de l’alanine et de la valine

32. La formation d’un dipeptide P s’obtient par le mélange de deux acides 𝛼–aminés A1et A2dont A1 = Valine et M(P) = 174 g/mol selon l’équation A1 + A2----->P + H2O

a) Donne le nom de cette réaction
b) Donne le nom officiel / usuel et la formule semi-développée de A2

c) Citer les différentes étapes de synthèse d’un dipeptide dans lequel l’acide 𝛼−aminé (valine)
est N-terminal et l’acide 𝛼−aminé (glycine) est C-terminal.

1er Juin Revision générale BAC SORO WhatsApp Group Invite

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Cours sur la suite numérique

A) suite arithmétique

Une suite (Un) est dite arithmétique lorsqu'il existe un réel r tel que Æ n € I, U(n+1) = (Un) + r ; ou le réel r designe raison de la suite.

Démonstration

Monter qu'une suite est arithmétique revient à calculer U(n+1) - Un

Si U(n+1) - Un = r avec r€IR alors (Un) est une suite arithmétique de raison r.

Propriétés de la suite arithmétique

1) Deux formules a retenir si la suite est arithmétique

✓formules explicite

Un = Up + (n-p)r

✓Formule de récurrence

U(n+1)= (Un) + r

2) sommes des termes : comment les Calculer ?

Si Sn= Uo + U1+ U2......Un

Alors Sn= (1/2).(n+1)(Uo + Un)

Si Sn= Up + U(p+1)......Un

Alors Sn= (1/2).(n+1-p)(Up + Un)

3) sens de variations

Si r0 alors la suite est strictement croissante

Si r=0 alors la suite est constante

4) convergence

Si r= 0 alors la suite est constante elle est donc convergente

Si r≠0 alors la suite est divergente

5) limites

Si r0 alors lim(Un)= +∞ lorsque n tend vers +∞

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Application sur la suite arithmétique

Exercice d'applications sur la suite arithmétique

Soit les suites (Un) et (Vn) définies par :

{Uo= 1 ; U(n+1)= Un/[(Un)+1] et Vn= 1/Un }

1) calculer U1 , U2 , Vo et V1.

2) montrer que (Vn) est une arithmétique dont on indiquera sa raison et son premier terme.

3) exprimer Vn en fonction de n, puis Un en fonction de n.

4) exprimer en fonction de n, Sn= Vo+ V1 + ......Vn

5) étudier la convergence des suites (Vn) , (Un) et (Sn).

Éléments de réponse

1) calcul U1, U2 , Vo et V1

U1=Uo/(Uo +1) = 1/2

U2=U1/(U1 +1)= 1/3

Vo=1/Uo = 1

V1=1/U1= 2

2) (Vn) suite arithmétique ?

Après avoir calculer V(n+1)-Vn vous allez trouver

V(n+1)-Vn=1 ;

1 étant une constante,(Vn) est donc une suite arithmétique de raison r=1 et de premier terme V0=1

3) Vn et Un en fonction de n?

(Vn) étant une suite arithmétique et explicite de raison r et de premier terme Vo, on a:

Vn=Vp + (n-p)r avec Vp=Vo et p=no=0

Donc

Vn= Vo + nr

D'où Vn= 1+n

Un en fonction de n?

Puisque Vn=1/Un donc Un= 1/Vn avec Vn=1+n

On a Un=1/(1+n)

4) Sn en fonction de n

Sn= (1/2).(n+1)(Vo +Vn)

D'où sn= (1/2).(n+1)(n+2)

5) convergence de suite (Vn), (Un) et ( Sn)?

lim(n->+∞)Vn

=lim(n->+∞)(1+n)= +∞

Donc (Vn) est divergente

lim(n->+∞)Un

=lim(n->+∞)1/(1+n)= 0

Donc (Un) est convergente

lim(n->+∞)Sn

=lim(n->+∞)(1/2).(n+1)(n+2)= +∞

Donc (Sn) est divergente.

Guillaume Togbode

1er Juin Revision générale BAC SORO WhatsApp Group Invite

*Rendez vous le 1er juin pour la révision générale dans toutes les matières*

*Bonne chance à vous tous au baccalauréat 2023*

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Résumés de mathématiques série D

Initiateur : Guillaume Togbode

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Module 2 : fonctions f(x) ; lnu et e^u

Séquence 1 : comment tracé une courbe ?

Nombreux de candidats ont de difficultés à tracer une courbe. Or ils ont oublié que tracé une courbe c’est :

1) étudier ses variations ,

2)Déterminer les branches infinies

3)Étudier éventuellement la position relative des asymptotes par rapport à la courbe puis les tracés dans un repère

4)Chercher les points remarquables en supposant :

Soit {A}=(OX) inter (Cf)

A}=(OX) inter (Cf) yA = 0 donc f(xA)= 0

Par conséquent A( xA, 0)

Soit {B}=(OY) inter (Cf)

{B}=(OY) inter (Cf) xB = 0 donc yB=f(0)

Par conséquent B(0; f(0))

NB: soyez sûr 0 € Df avant de calculer f(0).

Détails

Etudier une fonction f, c’est étudier ses variations.

A- Etudier les variations de f c’est :

1-Déterminer le domaine ou ensemble de définition Df de f.

2-Calculer les limites aux bornes de Df ;

3-Etudier l’ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivé soit f'(x) ;

4- Etudier le signe de f'(x) et dégager le sens de variation de f ;

5-Dresser le tableau de variation de f.

B- Etudier le sens de variation de la fonction f c’est :

1- Déterminer son ensemble de définition ;

2-Donner l’ensemble de dérivabilité et calculer sa dérivée f'(x);

3-Etudier le signe de f’(x) et conclure (c’est de dire si la fonction f est croissante ou décroissante ou constante).

Remarque : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I

 Si f ’ est positive sur I, alors f est croissante sur I.

 Si f ’ est négative sur I, alors f est décroissante sur I.

 Si f ’ est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Séquence 1 :
Domaine de définition d’une fonction numérique.

Propriété : la fonction f: ℝ→ℝ
x ⟼f(x)

Les fonctions linéaires (x⟼ax), affines(x ⟼ ax + b) et polynômes (x ⟼ axⁿ + bx + c) sont définies sur ℝ C’est-à-dire
Df=]−∞ ; +∞[ .

Ex : Les fonctions f : x ⟼ 2x² + -4x + 1 et f : x⟼ x³ + 2x² + 5x+ 7 étant des fonctions polynômes donc DF=ℝ =]−∞ ; +∞[.

Séquence 2 :
fonction paire, fonction impaire, Axe de symétrique et centre de symétrique.

Propriété 1 : La Parité d’une fonction.

 Etudier la parité d’une fonction revient à dire s’il est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

 Démontrer qu’une fonction est paire revient à suivre trois (03) étapes.

1ère Etape : Il faut chercher le domaine de définition de la fonction.

2ème Etape : Vérifier si ∀ x ∈ Df, (-x) ∈ Df

3ème Etape : Calculer f(-x) puis comparer f(-x) à f(x) .

Dans ce cas :

- Si f(-x) = f(x) alors on dit que la fonction est paire ;

- Si f(-x) n’est pas égale à f(x) alors on dit que la fonction n’est pas paire mais cela ne voudra pas dire qu’elle est impaire.

 Démontrer qu’une fonction est impaire revient à suivre trois (03) étapes.

1ère Etape : Il faut chercher le domaine de définition de la fonction ;

2ème Etape : Vérifier si ∀ x ∈ Df, (-x)∈ Df ;

3ème Etape : Calculer [-f(-x] puis comparer [-f(-x] à f(x).

Dans ce cas

- Si [-f(-x] = f(x) alors on dit que la fonction est impaire ;

- Si [-f(-x] n’est pas égale à f(x) alors on dit que la fonction n’est pas impaire mais cela ne voudra pas dire qu’elle est paire.

Propriété 2 : Axe de symétrique et centre de symétrique.

 Démontrer qu’une droite d’équation x = a, (a € ℝ ) est un axe de symétrique à (Cf) revient à suivre trois (03) étapes.

1ère Etape : il faut chercher le domaine de définition de la fonction soit df.

2ème Etape : Vérifier si ∀ (a-x) € df ; (a+x) € df.

3ème Etape : Calculer f(a-x) et f(a+x) puis comparer f(a-x) à f(a+x).

Dans ce cas :

-Si f(a-x) = f(a+x) alors la droite d’équation x= a (a €ℝ ) est un axe de symétrique à (Cf) ;

- Si f(a-x) ≠ f(a+x) alors la droite d’équation x= a (a €ℝ) n’est pas un axe de symétrique à (Cf).

 Démontrer qu’un point soit T(a ; b), (a, b) €ℝ² est un centre de symétrique à (Cf) revient à suivre trois(03) étapes.

1ère Etape : Il faut chercher le domaine de définition de la fonction soit Df ;

2ème Etape : Vérifier si ∀ (a-x) €Df ; (a+x)€Df.

3ème Etape : Calculer [f(a-x)+f(a+x)]/2 et comparer à b.

- si [f(a-x)+f(a+x)]/2 = b alors le point T(a ; b) est un centre de symétrique à (Cf).

- Si [f(a-x)+f(a+x)]/2 ≠ b alors le point T(a ; b) n’est pas un centre de symétrique à (Cf).

Séquence 3 :
Limite à l’infini (−∞ et +∞)
Remarque

 La limite à l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite de son monôme du plus haut degré.

 La limite à l’infini d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient des monômes du plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

Ex : lim(x→−∞)[(3x-1)/(x²+2)]
=lim(x→−∞)[3/x]= 0

*lim(x→+∞)[(2-x)/(x+1) = lim(x→+∞)[-x/x] = -1

 Trois (03) cas de limites à l’infini a retenue

1er cas :

lim(x→+∞)[xⁿ] =+∞ si n est paire ou impaire.

2ème cas :
lim(x→+∞)[xⁿ]

=

+∞ si n est paire ;

−∞ si n est impaire.

3ème cas : limx→∞(1/xⁿ) = 0
Séquence 4 : Notion de continuité

Propriété 1 : Continuité d’une fonction en un point.
Une fonction est continue en un point a, a ∈ℝ Si et seulement si f est définie en a et continue à droite de a et à gauche de a c'est-à-dire que a€Df et lim(x→a–)f(x)=lim(x→a+)f(x)= f(a).

Séquence 5 : Limite et les branches infinies c'est-à-dire Asymptote verticale, horizontale et oblique.

Propriété : f est une fonction numérique à variable réel x, (Cf) est la courbe représentative de f dans le plan muni d’un repère orthonormé et a et b deux nombres réels.

 Si lim(x→a)f(x)=(−∞ ou+∞) alors la droite d’équation x=a est une asymptote verticale à (Cf) au voisinage de a (cette asymptote est parallèle à l’axe des ordonnées).

 Si lim(x→∞)f(x) = b alors la droite d’équation y=b est une asymptote horizontale à (Cf) au voisinage de (−∞ ou+∞). Cette asymptote est parallèle à l’axe des abscisses.

 Pour démontrer de façon générale qu’une droite d’équation y = ax+b est asymptote oblique à une courbe, il suffit simplement de montrer que

lim(x→∞)[f(x)-(ax+b)]=0

® Position d’une courbe par rapport à son asymptote
Obliques 𝒚 = 𝒂𝒙 + 𝒃.
Pour étudier la position de (Cf) par rapport à (D): 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, on
détermine le signe de la différence 𝒅 = [𝒇(𝒙) − (𝒂𝒙 + 𝒃)].
En effet :

 Si d> 0 ⟺ (𝐶𝑓) est au dessus de (D).

 Si d< 0 ⟺ (𝐶𝑓) est en dessous de (D).

 Si d= 0 ⟺ (𝐶𝑓) et (D) sont confondus.

✓ Calcul de limites en cas d'indétermination

Méthode de lever une indétermination dans un calcul de limite

Dans de nombreux calculs de limites, l’utilisation des théorèmes généraux (limite d’une somme, d’un produit, d’un quotient) ne permet pas de conclure directement. On dit alors qu’on est en présence d’une « forme indéterminée ». Dans la plupart des cas, il est possible en modifiant l’écriture de l’expression dont on cherche la limite de se retrouver dans une situation où l’on peut conclure en appliquant les théorèmes connus : on dit alors qu’on a levé l’indétermination.

 Comment peut-on savoir si l’on est dans le cas d’indétermination et comment peut-on élever cette indétermination ?

1) Il est indispensable, avant de chercher à modifier une écriture de s’assurer, en remplaçant le réel dans l’expression de la fonction, que les théorèmes généraux ne permettent pas de conclure directement (il faut effectuer l’opération de la limite sur son brouillon) ;

2) reconnaître que :

a) IRI (Infinie sur Réel = Infinie)

b) ORO( zéro sur Réel = zéro)

c) ROI( Réel sur zéro = Infinie)

d) RIO ( Réel sur Infinie = zéro)

2) savoir qu'il y a 4 indéterminations répartir en 2 groupe à savoir :

1 er groupe :

a) infinie moins infinie (&-&)

b) infinie sur infinie ( &/&)

2eme groupe :

a) zéro fois infinie (0 X &)

b) zéro sur zéro ( 0/0)

3) savoir si quand je suis dans le 1 er groupe d'indétermination que je dois faire :

Extraction, c'est-à-dire faire sortir le paramètre ou la variable le(la) lourd(e) ou

faire l'expression conjugué
ou factoriser et/ou simplifier en cas de besoin.

4) savoir si quand je suis dans le 2eme groupe que je dois faire :

Allusion aux limites remarquables qui sont dans mon cahier.

5) reconnaître qu'il y a 4 limites remarquables de la fonction comportant le logarithme népérien :

a) lim(x_> 0+)(xlnx) = 0

b) lim(x_> +&)(lnx/x) = 0

c) lim(x_> 0+)[ln(1+x)/x] = 1

d) lim(x_>1)[lnx/(x-1)] = 1

6) reconnaître qu'il y a 3 limites remarquables de la fonction comportant l'exponentielle népérienne :

a) lim(x_> -&)(xe^x)= 0

b) lim(x_> +&)[(e^x)/x] = +&

c) lim(x_> 0)[(e^x) -1]/x = 1

7) être en mesure de détecter la source ou la cause de l'indétermination.

8,)Savoir désormais que c'est le contenu de ln( ) ou le contenu de e^( ) qui cause ou la source de l'indétermination.

9) savoir que c'est la source ou la cause ln( ) ou e^ ( ) qu'il faut transformer.

10) si je suis dans les cas ln(0+) ; ln(+&) ; ln(1 + 0) et ln(1), il faut être en mesure de transformer :

a) ln(0+) = [(0+)ln(0+)] X 1/( 0+)

b) ln(+&) = [ln(+&)/(+&)] X (+&)

c) ln(1+0)= [ln(1+0)/(0)] X(0)

d) ln(1)= [ln(1)/[(1)-1] X[(1) -1]

NB : ne transformer plus les expressions qui sont dans les crochets car ces résultats sont connus d'après les limites remarquables

Application

1) lim(x_>0+) [xln(1 + 5/x)

Sur brullons

On a :
0ln(1+5/0)

= 0ln(1 + +&)

=0ln(+&)

=0 X +& ( indétermination du groupe 2)
Donc il faut faire appelle à la limite remarquable.

Pour ce fait c'est le contenu de la ln( ) qu'il faut transformer cest a dire la source de l'indétermination.

Et la source ici c'est ln(+&) qui n'est rien d'autre que ln(1 + 5/x)

Pour transformer il faut faire :

ln(1 + 5/x)

=
[ln(1 + 5/x)/( 1 + 5/x) ] X (1 + 5/x)

Sur la copie écrivez maintenant

lm (x_>0)f(x)
=
lim(x_>0+) x[ln(1 + 5/x)/(1 + 5/x) ] X (1 + 5/x)

=

lim(x_>0+) x(1 + 5/x)[ln(1 + 5/x)/(1 + 5/x)]

=

lim(x_>0+) (x+ 5)[ln(1 + 5/x)/(1 + 5/x)]

=

lim(x_>0+) (x+ 5)[ln(T)/(T)]

= 0

Car lim (x_>0+) (x+5) = 5

Et lim lnT/T =0 où T tend vers +& où T= 1+5/x

2) lim (x-3)/ln(3/x) lorsque x tend vers 3

Indétermination du type 0/0

la source est :
On a : 0/ln(1) = 0/0 ce qui voudra dire que c'est ln(1) qui est la cause de la soucre de cette indétermination autrement dire ln(3/x)

Or la transformation de ln(1) = [ln1/(1-1) ] x (1-1)

Ce qui nous amène a dire que la transformation de ln(3/x)= [ln(3/x)|(3/x) -1] x ((3/x) - 1)

Donc

lim (x-3)/ln(3/x) lorsque x tend vers 3

=lim (x-3)/(3/x) -1 )[lnt/(t-1)]

=lim (x-3)/(3-x)/x[lnt/(t-1)]

=lim -(x-3)/(x-3)/x
[lnt/(t-1)]

=lim -x[lnt/(t-1)]

=-3

car lim [lnt/(t-1)] = 1 lorsque t tend vers 1 où t= 3/x

D'où

lim (x-3)/ln(3/x)

= -3 lorsque x tend vers 3

3) lim (x-2)² ln[(x-1)/(x-2)] quant x tend ver -00

Indétermination du type 0X&

source
On a: +&ln(1) = 0x& ce qui voudra dire que c'est ln(1) qui est la cause de la soucre de cette indétermination autrement dire ln(x-1)/(x-2)

Or la transformation de ln(1) = [ln1/(1-1) ] x (1-1)

Ce qui nous amène a dire que la transformation de ln(x-1/x-2)= [ln(x-1/x-2)|(x-1/x-2) -1] x ((x-1/x-2) - 1)

Donc

lim (x-2)² ln[(x-1)/(x-2)] quant x tend ver -00

=

lim (x-2)²(x-1/x-2 -1)[lnt/(t-1)]

=lim (x-2)²(1/(x-2)[lnt/(t-1)]

= lim (x-2)[lnt/(t-1)]

= -& car lim lnt/(t-1)=1 lorsque t tend vers 1 et lim (x-2) = -& lorsque x tend vers -&

D'où

lim (x-2)² ln[(x-1)/(x-2)] = -& lorsque x tend ver -&

Exercice d'application

Quelques cas de limites d'indétermination comportant logarithme népérien

Calculer les limites de la fonction ci-après :

1) f(x)=xln(1 + 5/x) lorsque x tend vers 0 par valeur positive et x tend vers -&.

2) f(x)=ln(2x -5)/(2x² -7x +3) lorsque x tend vers 3.

3) f(x)=(x-3)/ln(3/x) lorsque x tend vers 3.

4) f(x)=(x² -3x +2)/ln|2x -3| lorsque x tend vers -&.

5) f(x)=(x² -3x +2)/ln(3-2x) lorsque x tend vers 1.

6) f(x)= -3 -lnx +2(lnx)² lorsque x tend vers +&.

7) f(x)=xlnx -x lorsque x tend vers 0 par valeur positive et x tend vers +&.

8)f(x)=(2 + lnx)/(1 - lnx) lorsque x tend vers +& ; vers 0 et vers e.

9) f(x)=lnx/ (x - lnx) lorsque x tend vers +&.

10) f(x)=(ln|x² - 3x +2|)/x lorsque x tend vers -& et +&.

11) si je suis dans les cas e^(-&); e^(+&) et [e^(0) -1], il faut être en mesure de transformer :

a) e^(-&)=[-&e^(-&)] X 1/(-&)

b) e^(+&)= [e^(+&)/(+&)] X (+&)

c) e^(0)-1=[e^(0)-1/(0)] X (0)

NB : ne transformer plus les expressions qui sont dans les crochets car ces résultats sont connus d'après les limites remarquable.

Applications

1) lim(x->+&)xe^(1-x)

Sur brullons on a +&e^(-&)=0X(+&) = indétermination du groupe 2.
La source de l'indétermination est e^(-&)

Donc lim(x->+&)xe^(1-x)

= lim(x->+&)x[(1-x)e^(1-x)] X1/(1-x)

= lim(x->+&)x/(1-x) X [(1-x)e^(1-x)]

= -1 X [(1-x)e^(1-x)]

= -1 [te^(t)]

=0

2) lim(x->+&)[e^(1/(x) +ln ]/x

Indétermination du groupe 2( &/&)

= lim(x->+&)[e^(1/(x) +ln)/(1/(x)+lnx) ] X ( 1/(x)+lnx) tout divisé par x

= lim(x->+&)[e^(t)/(t) ] X ( 1/(x)+lnx) tout divisé par x

= lim(x->+&)[e^(t)/(t) ] X [1/(x²)+lnx/x] où

t=1/(x) + lnx

=0X(RIO +lnx/x)

= 0

3) lim(x->1)[e^(lnx) -1]/(x-1)]

=indétermination du groupe 2 (0/0)

=lim(x->1)[(e^(lnx) -1)/(lnx)] X (lnx) tout divisé par (x-1)

lim(x->1)[(e^(t)-1/t] X [ln(x)/(x-1)] ou

t=lnx

= 1 X[lnx/(x-1)]

1(1)

=1

car [e^(t)-1]/(t)=1

et lnx/(x-1)=1

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